Proporcionalitat geomètrica

1. Tales de Milet

Tales de Milet va ser un filòsof i matemàtic grec del segle VI a.C. Explica la llegenda que en un dels seus viatges va visitar les piràmides d'Egipte i el faraó li va demanar si podia trobar l’altura de la piràmide, ell ho va prendre com un repte i va fer fàcil el que semblava impossible:

Així va calcular l’altura de la piràmide:

El pal A, l’ombra B i el raig de sol forma un triangle rectangle, així l’altura de la piràmide D, l’ombra C i el raig de sol forma un altre triangle també rectangle. En els triangles semblants: els angles són iguals i els costats són proporcionals. Es a dir:

Si sabem A, B i C , aplicant aquesta proporció és fàcil trobar l’altura D.

Activitat 1: Ara calcularem les altures de diferents objectes del pati tal i com ho va fer Tales. Teniu les instruccions al full que us lliurarà la professora.

I si no fa sol i no hi ha ombres? PODEM FER SERVIR MIRALLS!

Cliqueu a l'enllaç per descobrir com fer-ho: Tales, miralls i altures

2. Triangles en posició de Tales

Si tenim un triangle qualsevol,no cal que sigui rectangle com abans, i es fa un segment paral·lel a un costat, el triangle que es forma serà semblant.

Si tenim el triangle ABC, i fem un segment paral·lel, B’C’, a un dels costats del triángle, s’obté un triangle AB’C’, on els seus costats son proporcionals al triangle ABC.

Activitat 2: Dibuixa aquest triangle i comprova que els costats són proporcionals.

Aquests triangles semblants quan tenen un angle comú i els costats proporcionals diem que són triangles en posició de Tales.

Activitat 3: Dibuixa tres parells de triangles en posició de Tales.

Activitat 4: Troba el valor d'a i b.

3. Teorema de Tales

Si tenim dues rectes secants (r i s) i fem rectes paral·leles (AA’, BB’, CC’) els segments determinats en una de les rectes, AB i BC, són proporcionals als segments corresponents en l’altra recta (A’B’, B’C’). Es a dir compleixen la proporció següent: